День 121. Парадокс Кондорсе, камень в Адизеса и почему иногда нужно знать математику

Пишу по памяти, поэтому прошу простить, если будут какие-то неточности.

Расскажу об одном замечательном результате, до которого я дошел собственным умом около года назад. Потом оказалось, что обнаружил его еще в 18 веке товарищ по фамилии Кондорсе.

На прошлой работе мы «жили по Адизесу». Что это значит? Это значит, что мы создавали рабочие группы для решения более творческих вопросов, не относящихся к непосредственной работе.

Я не помню всех тонкостей, но суть в том, что когда нам нужно было выбрать оптимальные варианты из нескольких возможных, каждый из членов рабочей группы ранжировал их (то есть проставлял, например, наилучшему с его точки зрения, 10 баллов, чуть похуже — 9, самому плохому — 0. Или в других вариантах проставляли приоритеты — А, В и С — что по сути то же самое). Потом складывались баллы всех участников и так определялись оптимальные варианты.

Тогда я заметил, что порой конечный коллективный выбор в определенном смысле приводит к недовольству большинства (чуть позже дадим более точные определения). После того, как я это изучил более детально, удивился, почему Адизес этого не знал. И до сих пор не знают люди, продающие свои услуги и проводящие различные тренинги для компаний, консультирующие по организации работы и пр.

Знаю, что к ним обращались не только мы (в числе их клиентов, например, и НПО Компьютер).

Большинство этих «коучей» — гуманитарии, плохо владеющие логикой. Отсюда и проблемы.

Ниже я покажу, почему подобные голосования лишены смысла и как можно с этим бороться.

Парадокс Кондорсе: При наличии двух и более альтернатив и двух и более избирателей коллективная ранжировка альтернатив может быть нетранзитивной, даже если ранжировки всех избирателей транзитивны. Таким образом, волеизъявления разных групп избирателей, каждая из которых представляет большинство, могут вступать в противоречие друг с другом.

Давайте разбираться. Что значит транзитивно? Это когда отношение g обладает свойством

A g B, B g C => A g C

Например, отношение «быть больше» на множестве чисел транзитивно, поскольку если x>y и y>z, то x>z.

А вот отношение «побеждает» в игре камень-ножницы-бумага нетранзитивно, поскольку камень побеждает ножницы, ножницы — бумагу, но камень проигрывает бумаге.

Далее следует обратить внимание на 2 вещи, принципиальные для парадокса:

1. Наличие БОЛЕЕ ДВУХ избирателей (в случае антагонизма невзвешенных двух, как выбирать «оптимальный коллективный» вариант непонятно) — это нормальное явление для рабочих групп по Адизесу

2. Наличие БОЛЕЕ ДВУХ альтернатив (в случае двух — выбирается та, за которую проголосовало большинство, и парадокса не получается) — это тоже обычное явление для подобных обсуждений

Приведем простой пример.

Будем обозначать «А>B», если голосующий предпочитает кандидата А кандидату В.

Пусть у трех членов рабочей группы по Адизесу голоса распределились так: первый — A>B>C, второй — B>C>A, третий — C>A>B.

Подведем итоги. За то, что A>B проголосовали двое из трех. За то, что B>С тоже большинство. За C>A аналогично.

Получаем, что синертим (коллективный разум), так восхваляемый Адизесом и используемый во многих компаниях, принял отличное решение: А>B>C>A. Покруче женской логики.

Парадокс парадоксом, но как-то разбираться в подобных ситуациях нужно. Последние десятилетия математика и пытается это делать.

Подходы рассмотрим на более сложном примере. Пусть 60 голосующих дали следующую ранжировку:

23 человека: А>C>B

19 человек: B>C>A

16 человек: C>B>A

2 человека: C>A>B

Нам (в соответствии с правилами Адизеса) необходимо выбрать наилучший вариант. Какие существуют способы для этого?

Относительное большинство

А — 23 голоса, В — 19 голосов, С — 18.

Победитель — А

Абсолютное большинство

Такой алгоритм тоже довольно распространен (например, на президентских выборах).

После первого тура с результатами А — 23 голоса, В — 19 голосов, С — 18 два финалиста выходят во второй тур.

А>B — 25 голосов, B>A — 35 голосов

Победитель — B

Коллективный выбор по принципу Кондорсе

Сравниваем результаты попарно:

A>B — 25, B>A — 35 => B>A

A>C — 23, C>A — 37 => C>A

B>C — 19, C>B — 41 => C>B

Имеем B>A, C>A, C>B, откуда лучший вариант — С.

Таким образом, три предложенных алгоритма (а их на самом деле еще больше) дали разные результаты. Противоречивость коллективного выбора по принципу Кондорсе мы видели в первом примере. Однако остальные алгоритмы не лучше.

Покажем неэффективность относительного большинства. Лучший вариант по этому алгоритму А, однако 35 человек (большинство) считают, что B лучше А и будут недовольны результатами голосования.

Так какой же из алгоритмов «лучше всего»?

Ответ на этот вопрос дает теорема Эрроу: Пусть голоса всех избирателей равны, система голосования универсальна (то есть при любом варианте коллективного голосования определен результат) и оптимальна по Парето (если А>B для каждого голосующего, то A>B и для результата коллективного голосования) — как видим требования теоремы отнюдь не строгие

Тогда существуют такие выборы избирателей, что результат коллективного голосования нетранзитивен.

Простыми словами, алгоритма коллективного голосования, дающего непротиворечивый результат, не существует.

Я закончил. Теперь живите с этим)

Обсудить у себя 0
Комментарии (0)
Чтобы комментировать надо зарегистрироваться или если вы уже регистрировались войти в свой аккаунт.

Войти через социальные сети:

Сахаров Денис
Сахаров Денис
Был на сайте вчера в 22:10
Читателей: 21 Опыт: 496.525 Карма: 0
все 22 Мои друзья