День 123. Парадокс Паррондо и его применение в беттинге (I)

Один из редких постов, написанных на основе моих ночных бдений.

Иногда ложишься спать, приходит мысль какая в голову — и садишься за комп, набрасывая идеи решения или ища информацию в интернете. До утра забудется. Да и не заснешь с такой головой.

О парадоксе Паррондо я прочитал еще будучи студентом, но только сейчас получилось его осмыслить. Информации в интернете по нему очень мало, ничего толкового на русском найти не смог. До многого пришлось дойти самому и я получил ни с чем не сравнимое удовольствие, давно позабытое.

Как говорил мой научный руководитель, в жизни есть две вещи, от которых можно получать удовольствие. Одна из них — заниматься математикой.

Это одна из историй о моей дороге к решению интересной задачи. Пост не будет содержать сухих результатов, а покажет скорее ход мысли, мои надежды и попытки. Возможно, кого-то заинтересует предлагаемый материал сам по себе, а кто-то на конкретном примере научного поиска, вдохновится на дальнейшие изыскания.

После того, как мне удалось получить промежуточные результаты, хватило ума погуглить на английском. Информации оказалось гораздо больше и она натолкнула меня на новые идеи.

Парадокс довольно свежий (Паррондо обнаружил его в 1996 году) и мне неизвестно, успел ли он найти свое применение в беттинге.

Несмотря на то, что мои выкладки находятся еще в начале, информацию буду уже выкладывать, чтобы наметить идеи и возможные пути развития.

В первом посте дадим общие сведения о парадоксе, доступные в русскоязычных источниках.

Можно выиграть, играя в две проигрышные игры.

Более строго: существуют две игры, сами по себе невыгодные (то есть имеющие отрицательное математическое ожидание), и стратегия их чередования, имеющая положительное математическое ожидание.

Другими словами, играть в первую игру не выгодно, во вторую тоже. Но если их чередовать в определенной последовательности — на дистанции мы получим прибыль.

Вот какой пример предлагает русскоязычная википедия (собственно, это и есть оригинальный результат, обнаруженный Паррондо):

Пусть игра А такова, что игрок выигрывает 1 с вероятностью 0.5-е50 % − ε {\displaystyle 50\,\%-\varepsilon }  (с положительным, достаточно малым ε {\displaystyle \varepsilon } е) и проигрывает 1 с вероятностью 0.5+е50 % + ε {\displaystyle 50\,\%+\varepsilon } . Математическое ожидание результата такой игры, очевидно, равняется − 2 ε {\displaystyle -2\varepsilon } -2е, то есть отрицательно.

Игра Б является комбинацией двух игр — Б1 и Б2. Если капитал игрока в начале игры Б кратен 3, то он играет в Б1, иначе — в Б2.

Игра Б1: игрок выигрывает 1 с вероятностью 10 % − ε {\displaystyle 10\,\%-\varepsilon } 0.1-е, проигрывает с вероятностью 0.9+е90 % + ε {\displaystyle 90\,\%+\varepsilon } . Игра Б2: игрок выигрывает 1 с вероятностью 75 % − ε {\displaystyle 75\,\%-\varepsilon } 0.75-е, проигрывает с вероятностью 0.25+е25 % + ε {\displaystyle 25\,\%+\varepsilon } .

При любом ненулевом положительном значении ε {\displaystyle \varepsilon } е игра Б также обладает отрицательным ожиданием результата (например, при ε = 0,005 {\displaystyle \varepsilon =0{,}005} е=0.005).

Можно увидеть, что некоторые комбинации игр А и Б обладают положительным ожиданием результата. Например (с указанным значением ε {\displaystyle \varepsilon } е):

  • Случайно выбирая каждый раз игру между А и Б, мы получим ожидание результата 0,0147.
  • Играя поочерёдно 2 раза А, затем 2 раза Б, получаем ожидание результата 0,0148.

Википедия резюмирует: Парадокс широко применяется в теории игр, однако приносит мало пользы в большинстве практических ситуаций, например, в инвестировании в фондовый рынок, так как парадокс требует, чтобы выигрыш по меньшей мере в одном из вариантов игры зависел от капитала игрока. А это представляется невозможным.

Это все, что можно найти на русском языке. Но так ли все просто?

Что сразу же бросается в глаза?

1. Игра Б является условной игрой (т.е. распадается на две игры)

2. Несмотря на то, что сама Б невыгодна, в нее входит подыгра Б2 с положительным матожиданием

Какая наша цель? Применить этот парадокс к ставкам на спорт.

Идеи для рассмотрения:

1. Сократить количество игр с трех до двух (т.е. сделать игру Б безусловной, не распадающейся на Б1 и Б2)

2. Рассмотреть вырожденные игры (не такие, где с вероятностью p выигрываем a, с вероятностью 1-р проигрываем b, а такие, где единственный исход с вероятностью 1)

3. Отказаться от выгодности одной из подыгр (поскольку в реальной жизни такого не бывает. Можно ли придумать пример, где все подыгры будут иметь отрицательное математическое ожидание?)

На сегодня все. Впереди нас ждет большое поле для исследования.

Даже не знаю, что лучше — разбогатеть на этой идее или получить новый результат и опубликовать еще одну хорошую статью в американском журнале.

Обсудить у себя 0
Комментарии (0)
Чтобы комментировать надо зарегистрироваться или если вы уже регистрировались войти в свой аккаунт.

Войти через социальные сети:

Сахаров Денис
Сахаров Денис
Был на сайте позавчера в 22:39
Читателей: 16 Опыт: 433.624 Карма: 12.2878
все 17 Мои друзья